The P vs NP problem; a 21st Century Perspective

                                                               Introduction

One goal with the explanations offered in this essay on the subject of the P vs. NP problem is to examine the current debate on the P vs NP problem , recent attempts at solving PNP and explaining the philosophical dimensions of the problem , including an analysis of Deolalikar´s Proof.
There has been a lot of speculation about the P vs. NP problem in various Academies around the world , and undeniably the P NP Problem has generated an enormous quantity of data concerning the 3000 sections or parts which this problem consists of.
Those who are already familiar with the P vs NP Problem at the University of Iceland will find enjoy to know that P NP is discussed by more Icelanders than has been previously considered , in light of the fact that generally the overall Icelandic Population is not much concerned with Mathematical Philosophy.
Rather than attempting to present further parts of the Puzzle over PNP , I have decided instead to present a Philosophical Essay concerning the Philosophical Dimensions by which numerous formulae and examples which have been concluded to be P or NP compatible are frequently discussed within the limits of the PNP debate. In light of the fact that this debate is still going on it is only natural and logical for members of the Icelandic Academic Community and beyound to express some enthusiasm concerning PNP.
Generally when articles about PNP are written , it is commonly asked in those articles what PNP actually is and what it stands for , which in itself is considered to be one of the most fundamentally important and challenging Philosophical Problems in modern times.
To ignore the status that PNP holds therefore as a Philosophical Problem , would be a grave mistake.
There are numerous reasons for why.
One reason being that despite there have been tendencies to keep mathematical calculations and formulae separate within the limits of most debates on subjects of Philosophical Research going on in Icelandic Society today , it is virtually undeniable that sooner or later there will be an increase in cases where serious attempts are made to explain mathematical problems from a Philosophical Perspective with an emphasis on the usefulness of formulae to explain the nature of each such problem.
Understandably mathematics has often been avoided as a subject in the Icelandic Philosophical Community on the ground that some members seem to consider mathematics to be somehow separate from modern Philosophy and that the limits by which modern Philosophy presents itself should be strictly explained within language alone , rather than through much use or even overuse of numbers.
But in fact , language and numbers are linked with each other inseparably , so it is therefore impossible to succeed in separating numbers from language in a Philosophical Debate , such as one on PvsNP.
This can be shown by attempting to present a Philosophical Problem which depends on the use of numbers to explain it´s concept without introducing the numerical symbolism , which will probably result in scrambling.
The first part of this article deals with introducing and explaining  P vs NP , and the Second Part goes into current attempts to explain PNP in a modern context and recent attempts to resolve PNP will be explored
My current view of the P / NP problem is , that it can be solved by accepting that it is possible that a particular problem presented as being NP compatible may in fact turn out to be P compatible. If this is true it means that some problems which have until so far been considered to be NP compatible , are actually P compatible , which I believe can be considered as indicating that it is not possible to prove positively that P is NP per ce , or that NP is P per ce , since so many of the NP compatible problems we know about today , have not been able to offer us to our knowledge with a final solution as to whether P can be considered NP per ce.Instead it appears to be the case that only in certain isolated cases may we have a problem which had been considered NP compatible which turns out to be P compatible. In that case , we´d be dealing with a P compatible problem.

                                                   P vs. NP in the early 21st Century

Essentially PNP asks whether any problem can be quickly verified by a computer can also be solved by a computer.
The simple answer to this question is obviously no. Some problems quickly verified by a computer can also be solved by a computer , but it can take a long time to solve a problem verified by a computer which has not been verified quickly.
At first glance this problem seems rather simple , but as it´s analysis clearly demonstrates it becomes less and less apparent that that is so.
Significant progress has been made in trying to explain P vs. NP in modern times , resulting in P vs. NP being considered the single most important Philosophical Problem for Computer Science today.
Is P vs. NP however a Philosophical Problem?
A simple answer would be yes , simply because of how the problem presents itself as one of the 7 Millenium Prize Problems.
Famously it was Stephen Cook who introduced the problem in his now famous text , ´the Complexity of Theorem Solving Procedures´in 1971.
After that the world of Computer Science and Philosophy has never remained the same , simply because of the significance this problem has had as one of the most fundamentally difficult and challenging problems facing science and philosophy today.

Kant og hinn rómantíski og gotneski góðu gagnrýnendur

Rannsóknarspurning; er hinn góði gagnrýnandi í dag margskiptur? Ef svo er , af hverju er hann ekki rómantískur fagurkeri eins og hann var á dögum Hume?

Tiltölulega lítið hefur verið skrifað um nálgun Kants á fagurfræðilegum álitamálum í hinu íslenska fræðasamfélagi. Þar hafa menn aðallega einbeitt sér að því að kryfja siðfræði Kants til mergjar og þá sérstaklega skilyrðislausa skylduboðorðið. Sem leiðir til spurningar minnar í þessari ritgerð þess efnis hvort að hinn góði gagnrýnandi sé orðinn margskiptur , og í ljósi þess , af hverju hann sé ekki lengur rómantískur fagurkeri eins og hann var á dögum Hume.
Það stafar af því að skilningur okkar á viðfangsefnum fagurfræðinnar hefur breyst. Ný listaverk hafa orðið til og nýjir liststílar , hver með sinni áherslu og viðhorfi gagnvart því hvað telst vera list. Gott dæmi um slíkann nútímalegan listastíl , er festuhyggja , eða fastmótunarhyggja / stúkkismi. Stúkkismi er dreginn af orðinu Stuckism , og þar er vísað til þeirra myndlistarmanna sem gjarnan teljast albrjálaðir í nútímalegu samhengi , þar sem að þeir hafa neitað að fara eftir reglum samfélagsins. En eru þeir í raun brjálaðir? Af hverju tengir hinn góði gagnrýnandi í dag myndlist við brjálæði og reyndar ekki bara myndlist heldur hin margvíslegu viðfangsefni allrar listar? Hann gerir það út frá tvenns konar sjónarmiði - sjónarmiði jákvæðrar gagnrýni , og sjónarmiði neikvæðrar gagnrýni. Hinn neikvæði , ´góði gagnrýnandi´er samkvæmt þessum skilningi n.k. fáviti. Hann hefur kosið að vera fávís gagnvart hugarstarfsemi myndlistarmannsins og valið að einblína nær eingöngu á hans eða hennar andlega ástand. Hið andlega ástand myndlistarmannsins skýrir af hverju hann er brjálaður en ´hinn góði gagnrýnandi´heilbrigður. Á dögum Kants hefði slíkur hugsunarháttur vafalaust þótt nokkuð framandlegur þó að menn töluðu um brjálæði dag frá degi eins og sjá má t.d. í verkum myndlistarmanna sem höfðu þegar á þeim tíma skapað sér öfluga nafnbót fyrir verk sín - sbr. Hieronymus Bosch í tilraunum sínum til að túlka brjálæði og andlegt ástand þeirra sem hafa farið offari í daglegum athöfnum sínum , svo sem t.d. óhófsemi á sviði framleiðslu eða jafnvel áhlustunar tónlistar.
Með ´margskiptur´er átt við að hann eigi sér margar hliðar en ekki lengur eina hlið sem einblíni á eitthvað eitt , t.d. rómantík en hafni svo öðrum stefnum eða velji að einblína ekkert sérstaklega á þær. Mér finnst að eitt af bestu dæmum sem hafa verið sett fram um einhvern sem nálgaðist það að vera gott dæmi um ´hinn góða gagnrýanda´á sínum tíma , hafi verið skáldskaparpersónan Thurban í smásögu H.P. Lovecraft , Mótel Pickmans (Pickman´s Model) en þar stendur Thurban frammi fyrir hinu ægifagra í verkum myndlistarmannsins Pickman. Pickman er sérfræðingur í að mála verur sem eitt sinn höfðu lifað á yfirborði sem nú er hluti af innviðum Jarðar þar sem áður höfðu verið eldfjöll , en núna hafa eldfjöllin færst ofarlega eftir því sem jarðsagan eltist , og mennirnir sem höfðu lifað áður á því sem þá hafði verið kallað yfirborðið , höfðu gleymt mennsku sinni og smám saman orðið að ófreskum sem nærðust á líkum hinna látnu eða jafnvel öðru , lifandi fólki. Vegna þess hversu raunsær Pickman var í túlkun sinni á hugarástandi þessara vera , sem eitt sinn höfðu verið menn , þá hafði listamannasamfélagið í Boston hafnað honum , en þar bjó hann , einn í gömlu húsi sem hann hafði keypt þar sem í var brunnur , sem verurnar gátu komist út úr hvenær sem þær vildu. Um þessa frábæru sögu , hafa verið gerðar margar jafn frábærar myndir , svo sem t.d. Chilean Gothic , þar sem reynt er að heimfæra hinn góða gagnrýnanda , margskiptann og jafnvel klofinn persónuleika , upp á nútímann frekar en árið 1929 eða fyrr. Myndir Pickman ullu hneyksli sem var svipaðs eðlis og sams konar myndir sem ullu hneyksli á sínum tíma í hinu íslenska myndlistarsamfélagi þegar ég sýndi þær á Fésbókinni þar sem menn gátu stækkað viðbjóðslegt innihald þeirra að vild , en hvorki lögregla né Facebook hafa kannast við svo ég viti að innihald þeirra brjóti í raun í bága við lög.
Á dögum Pickmans , var hinn góði gagnrýnandi frekar svipaðri persónu Thurbans en hann er í dag , frjálsari og óháðari gagnvart siðferðislegum kenndum en hann var þá og þar af leiðandi ekki eins kurteis og fagmannlegur í framkomu. Hinn ´margskipti´gagnrýnandi , er samkvæmt minni bók eða skilgreiningu , einfaldlega miklu fjölbreyttari í vali sínu á viðfangsefnum til að skoða og rýna á sviði myndlistar , en hann var á dögum Hume þegar Hume skrifaði sína frægu ritgerð , On the Standard of Taste , eða Um smekkinn. 
Hinn góði gagnrýnandi hefur gengið í gegnum gríðarlegar breytingar. Fyrir rúmum 20. árum síðan bjó í honum talsvert meiri siðferðiskennd en gerir í dag , og í sumum samfélögum , svo sem mörgum nýaldarsamfélögum í Sedona í Bandaríkjunum , eru það guðleg öfl sem ákvarða tilfinningar hins góða gagnrýnanda gagnvart hans eigin viðmóti fyrir myndlist (sbr. tal margra nýaldarsinna um ´engla´og ´andlega leiðbeinendur´sem veita myndlistarmönnum innblástur og tónlistarmönnum líka en það tal er ekki lengur álitið eins brjálæðislegt og það eitt sinn var því að eftir því sem hinn góði gagnrýnandi breytist þess meira breytist samfélagið með honum. Í dag er hinn góði gagnrýnandi frekar talinn með hinum vondu persónum en góðum manneskjum. Hann er hálfgerður bófi eða slæmur karakter í kvikmynd , jafnvel stórri Hollywood mynd. Hann dúkkar ekki lengur upp á einum stað og heldur sig svo bara við hann , sbr. t.d. nýöld. Nýaldarsinnar í dag yrðu hissa ef þeim yrði tjáð að hinn góði gagnrýnandi , sé orðinn að mörgu leyti andsnúinn þeirra hugmyndafræði um hvað skuli teljast til hins góða gagnrýnanda. En hann er ennþá þessi mikli umhverfisverndarsinni og nútímavæðingarsinni og skynsemisvera sem hann var á dögum Hume og á gullöld Upplýsingarinnar , en þó í miklu víðtækari merkingu þess orðs. Fyrir rúmum 12 árum síðan litu margir brútalistar t.d. svo á að brútalisminn væri framtíðin á sviði byggingarlistargerðar þar til í ljós kom að þessi óskaplega gamaldags byggingarstíll náði ekki að festa sig í sessi eins mikið og menn höfðu vonast til því að mörg þessara húsa voru í svo miklu hróplegu ósamræmi við umhverfið.
Í dag eru brútalistar aðhlægi samborgara sinna , svo sem t.d. hönnuðir húsanna í Skuggasundinu og hönnuðir Hörpunnar. Af hverju skiptir máli að doka við á mörgum stöðum í einu þegar talað er um hinn margskipta , góða gagnrýnanda í dag? Það er vegna þess að hann er orðinn svo margskiptur að hann lætur sér vart nokkuð snortið í dag. Allt er hægt að skilgreina í hans eða hennar huga , sem n.k. myndlistarverk. T.d. falleg mynstur í náttúrunni sem finna má á ólíklegustu stöðum , t.d. í kuðungum. Ég tel mig nánast tilneyddann til að nefna H.P. Lovecraft í umræðunni um hinn góða gagnrýnanda , Immanuel Kant og hið ægifagra vegna þess hversu ofboðslega góð skil Lovecraft gerði hinu ægifagra í verkum sínum. Það er nær undantekningarlaust hafið í hans huga sem enginn getur sigrað. Annað hvort hafið sem sjómenn hafa þekkt gegnum tíðina , eða úthafið sem stjörnurnar sigla um á útgeims öldum. Ef það er eitthvað sem sameinar allt mannkyn gagnvart hinu ótrúlega og yfirnáttúrulega í huga Lovecrafts þó hann hafi talað opinberlega gegn trú á tilvist hins yfirnáttúrulega , er það fyrst og fremst hafið. Og þessar mikilfenglegu , fallegu lýsingar sem Lovecraft gefur hafinu finnst mér gefa mér mikilvægar vísbendingar um það hvernig fólk sá fyrir sér hinn góða gagnrýnanda á hans tíma.
Börn hafsins eru ófreskjur sem eru gjarnan blendingar af ýmsum tegundum sem margir af færustu fræðimönnum á sviði Lovecraft rannsókna , hafa tengt við kynþáttahatur hans.
Hafið umlykur okkur Íslendinga og því finnst mér það við hæfi að velja hafið sem það sem ég tel að sé ein sterkasta myndbirting hins fagra og ægifagra í formi reynslu af einhverju sem við stöndum frammi fyrir , sem við ráðum svo gott sem ekkert við.
Hinn góði gagnrýnandi á dögum Hume fannst í öllum samfélögum en var algengastur í sveitum. Hann var því fyrst og fremst sveitabarn þó hann gæti líka vel verið harðgerður sjómaður. En í dag geta menn séð fyrir sér hinn góða gagnrýnanda sem mann annars vegar og sem dýr hins vegar. Dýrin hafa veitt okkur mikilvæga innsýn inn í hvernig þau skapa myndlist sjálf. Í framtíðinni verður litið svo á að allar verur búi að vissu leyti yfir dómgreind , og þá verður hinn góði gagnrýnandi um leið miklu víðsýnni en hann var þegar Hume samdi ritgerð sína. Hversu mikið vitum við um hinn góða gagnrýnanda í raun? Við virðumst vita minna en við höfum talið að við gerðum hingað til , og það sést t.d. með því hvernig myndlistarmenn sem áður fyrr höfðu verið kallaðir geðsjúkir hafa verið meðhöndlaðir , t.d. af leiguaðilum , jafnvel þó þeir hafi átt peninga til þess að greiða fyrir húsaleigu. Hafið hefur í þessu samhengi mótað að mörgu leyti persónu hins góða gagnrýnanda. Án þess , og án vatnsins sem fylgir því gæti hann ekki þrifist. Ég vill meina að hinn góða gagnrýnanda sé að finna í öllum samfélögum þar sem lifi og þrífist menn. Án þeirra , verði engin gagnrýni til , þar með talið listrýni því að mannleg reisn krefst listsköpunar.